Lineare Algebra Beispiele

8 y^{2} = 8 - x^{2}

$8 y^{2} = 8 - x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere

x^{2}

$x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

8 y^{2} + x^{2} = 8

$8 y^{2} + x^{2} = 8$

Schritt 1.1.2

Stelle

8 y^{2}

$8 y^{2}$ und

x^{2}

$x^{2}$ um.

x^{2} + 8 y^{2} = 8

$x^{2} + 8 y^{2} = 8$

x^{2} + 8 y^{2} = 8

$x^{2} + 8 y^{2} = 8$

Schritt 1.2

Teile jeden Term durch

8

$8$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

\frac{x^{2}}{8} + \frac{8 y^{2}}{8} = \frac{8}{8}

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{8 y^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich

1

$1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich

1

$1$ ist.

\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1

$\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$

\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1

$\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable

a

$a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar,

b

$b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse,

h

$h$ das x-Offset vom Ursprung und

k

$k$ das y-Offset vom Ursprung.

a = 2 \sqrt{2}

$a = 2 \sqrt{2}$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form

(h, k)

$(h, k)$ . Setze die Werte von

h

$h$ und

k

$k$ ein.

(0, 0)

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne

c

$c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in der Formel.

\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf

2 \sqrt{2}

$2 \sqrt{2}$ an.

\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ als

2

$2$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ als

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$\sqrt{8 - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\sqrt{8 - 1}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere

$1$ von

$8$ .

$\sqrt{7}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von

$a$ zu

$h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$a$ und

$k$ in die Formel ein.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting

$a$ from

$h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$a$ und

$k$ in die Formel ein.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ :

$(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von

$c$ zu

$h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$c$ und

$k$ in die Formel ein.

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(\sqrt{7}, 0)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von

$c$ von

$h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$c$ und

$k$ in die Formel ein.

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- \sqrt{7}, 0)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ :

$(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- \sqrt{7}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von

$a$ und

$b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Wende die Produktregel auf

$2 \sqrt{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 8.3.1.3.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 8.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 1}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.1.7

Subtrahiere

$1$ von

$8$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2

Bewege

$\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.3.4

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 8.3.3.5

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.6

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.7

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 8.3.3.7.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.7.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 8.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 8.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere

$7$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt:

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- \sqrt{7}, 0)$

Exzentrizität:

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

Schritt 10